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우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

아름답고 기상천외한 그래프를 찾아서

컴퓨터와 공학소프트웨어의 등장은 수학자(특히 기하학자)들에게 진보된 연구도구로의 쓰임에 더하여 또 하나의 즐거움을 안겨주었다. 바로 손 계산으로는 쉽게 예측할 수 없는 아름답고 기상천외한 방정식의 그래프를 발견하는 기쁨(?)이다. 

꽃병


아름답고 기상천외한 그래프


1. 사랑 방정식

오래전 드라마에서 배우 윤계상이 ‘사랑방정식’의 그래프를 그려서 짝사랑에게 고백의 메시지를 넌지시 건넨 그래프이다. 
그래프

→방정식의 그래프란?

방정식 f(x,y)=0을 만족하는 값 x,y를 찾아서 이를 순서쌍 (x,y)으로 엮어 좌표평면상에 나타낸 것이다.

그런데 식이 복잡할수록 손으로 그려내기가 불가능해진다. 이를 대신하여 빠르게 계산하고 좌표평면상에 출력해주는 것이 컴퓨터와 공학소프트웨어의 역할이다.

 

방정식을 f(x,y,z)=0과 같이 공간으로 확장하면 입체로 그려지는 ‘사랑방정식’도 존재한다. 물론, 이렇게 만든 하트는 3D프린팅도 가능하다.

하트 하트


2. 별 그대... 방정식

그래프가 그려지는 좌표 (x,y)를 각각 식 x(t), y(t)로 나타내는 방법을 매개변수 방정식이라고 부른다. 
매개변수 방정식은 훨씬 더 복잡하고 다양하며 신기한 그래프를 만들어 나갈 수 있다. 다음은 부드럽게 그려지는 별 그래프의 모습이다.   
별


3. 장미(Rose) 방정식

매개변수 방정식 역시 식을 x(s,t), y(s,t), z(s,t)로 확장하여 입체그래프를 만들어 낼 수 있다. 그것도 훨씬 더 기묘한(?) 그래프를 말이다. 다음은 그 형태가 무엇인지 가늠할 수조차 없는 복잡한 매개변수 방정식인데, 이 방정식의 그래프가 바로 장미의 모습과 매우 흡사하다.

방정식

장미
이 역시 3D프린팅으로 사물화 시키고 싶은 것이 기하학자들의 마음일 것이다. 꽃잎이 너무 얇고 허공에서 만들어지는 복잡성은 매우 정교한 3D프린터의 성능을 요구한다. 이에 광경화성수지조형방식(SLA)의 레이저 가공으로 출력해보았다. 
꽃병



이외에도 나비방정식, 소라방정식 등 자연이 품고 있는 아름다운 평면·입체방정식이 꽤 많이 알려져있다.

물론, 자연 그대로의 모습과 비교할 수 없겠지만, 수학에서 이러한 모습이 발견되다니... 이 얼마나 신기한 일인가?

나비  소라


[더 알아보기]

이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Mathematica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 작가의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치하고 데스크탑PC(혹은 노트북)에서 첨부파일을 실행하면 작동이 가능하다.   


[바로가기]
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