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우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

정사각형은 모두 몇 개일까?

<문제>

아래와 같이 가로와 세로가 모두 8칸인 정사각형으로 된 모눈종이가 있다. 이 모눈종이에는 모두 몇 개의 정사각형이 있을까?


바둑판
 ➀ 200개 ➁ 204개 ➂ 208개 ➃ 212개



풀이)

문제를 해결하기 위해 먼저 작은 모눈종이의 경우를 생각해 보자. 그러면 규칙을 찾는 데에 도움이 된다. 가로와 세로가 모두 4칸인 모눈종이에서 정사각형은 모두 몇 개일까?

바둑판

가장 작은 (1×1)은 16개, (2×2)는 9개, (3×3)은 4개, (4×4)는 1개로 모두 더하면 16+9+4+1=30개다. 이 식을 유심히 관찰해보면 1²+2²+3²+4²이고, 가장 큰 정사각형의 개수부터 순서대로 가장 작은 정사각형의 개수까지 순서대로 더한 식이란 걸 알 수 있다.


이제 규칙을 알았으므로, 어떤 크기의 모눈종이더라도 직접 세어보지 않고도 정사각형의 개수를 모두 구할 수 있다.

따라서 가로와 세로가 8칸인 모눈종이에서 찾을 수 있는 모든 정사각형의 개수는 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²=1+4+9+16+25+36+49+64=204개다.


그렇다면 모눈종이에서 찾을 수 있는 직사각형의 개수는 모두 몇 개일까? 정사각형의 개수보다 훨씬 더 많을 것이라는 걸 쉽게 예상할 수 있다. 정사각형의 개수를 구할 때의 식을 토대로 생각을 확장해 보면 직사각형의 개수를 구하는 식은 (1×1)+(1×2)+(1×3)+(1×4)+(2×1) … (4×3)+(4×4)로 나타낼 수 있고, 이 식을 간단히 표현하면 (1+2+3+4)×(1+2+3+4)가 된다. 즉, 직사각형의 개수는 모두 100개이다. 따라서 가로와 세로가 8칸인 모눈종이의 직사각형에서 또한 세어보지 않고 직사각형의 개수를 구할 수 있다.

(1+2+3+4+5+6+7+8)×(1+2+3+4+5+6+7+8)=36×36으로 무려 1296개나 된다. 

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