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우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

네 사람이 가위바위보를 할 때, 승패가 나지 않을 확률은?

 <문제>

“가위바위보해서 진 사람이 간식사오기 합시다!”

오후 시간, 출출해진 김 대리가 간식사오기 가위바위보를 제안했다. 마침 자리에 있는 사람은 정 과장과 이 과장, 김 대리, 그리고 박 대리 네 사람이었다.

“가위바위보!”

네 사람은 처음에는 모두 보자기를 냈고, 두 번째에는 가위, 바위, 보, 보를 냈으며, 세 번째 역시 가위, 보, 보, 바위를 내 승패가 나지 않았다.

“넷이서 하니까 승패가 잘 안 나네?”

잠시 한 호흡을 쉬고 마지막 가위바위보를 하려는 데, 문득 김 대리는 궁금했다.

‘네 사람이 가위바위보를 할 때, 승패가 나지 않을 확률은 얼마나 될까?’


➀ 1/2보다 크다.   ➁ 1/2이다.  ➂ 1/2보다 적다. 



풀이)

네 사람이 가위바위보하는 경우의 수를 처음부터 생각하는 것은 좀 어려울 수 있으니, 몸 풀기로 세 사람이 가위바위보를 했을 때 승패가 나지 않을 확률을 먼저 구해보자.


각 사람이 낼 수 있는 종류는 3가지이므로, 전체 경우의 수는 3×3×3=27가지다. 전체 경우의 수에서 승패가 나지 않는 경우는 모두 같은 것을 냈을 경우(➀)와 모두 다른 종류를 냈을 경우(➁)다. 세 사람을 A, B, C라고 하고 가위바위보를 낸 경우를 순서쌍 (A, B, C)로 표시하면 ➀의 경우는 (가위, 가위, 가위), (바위, 바위, 바위), (보, 보, 보)로 3가지가 있다.


또 ➁의 경우는 (가위, 바위, 보), (가위, 보, 바위), (바위, 가위, 보), (바위, 보, 가위), (보, 가위, 바위), (보, 바위, 가위)로 총 6가지가 있다. 즉 전체 경우의 수 27에서 3+6=9가지 경우에 승패가 나지 않으므로 확률은 9/27=1/3이다.


그렇다면 이제 네 사람이 가위바위보를 할 경우, 승패가 나지 않을 확률을 구해 보자. 먼저 전체 경우의 수는 같은 방법으로 3×3×3×3=81가지다. 이제 승패가 나지 않을 경우의 수를 구해야 하는데, 사람의 수가 네 사람일 경우에는 승패가 나지 않을 경우를 구하는 것보다, 승패가 날 경우를 구하는 것이 좀 더 쉽다. 승패가 날 경우를 전체의 경우의 수에서 빼는 방법으로 구하자.


승패가 날 경우는 네 사람이 낸 가위바위보 모양이 두 가지일 때인데, 두 사람이 둘 씩 낸 경우(➀)와 세 사람이 같은 모양을 낸 경우(➁)가 있다. 그리고 가위바위보 중 두 개의 모양을 각각 A, B라고 하면 아래의 표와 같이 경우의 수를 구할 수 있다.

표

그런데 각각의 표에서 A, B에는 다시 주먹, 가위, 보 3가지 중 2개가 들어갈 수 있다. A, B에 3가지 중 2개를 고를 경우는 주먹과 가위, 주먹과 보, 가위와 보로 3가지다.


즉 ➀의 경우의 수는 6×3=18가지이고, ➁의 경우의 수는 8×3=24가지이다. 이 둘을 더한 18+24=42가지가 승패가 날 경우의 수다. 그러므로 승패가 나지 않을 경우의 수는 81-42=39. 승패가 나지 않을 확률은 39/81로 거의 1/2에 가깝다.


가위바위보 게임은 2명, 3명일 경우에는 승패가 나지 않을 확률이 1/3이지만, 네 사람일 경우에는 1/2에 가까울 만큼 커지고, 5명부터는 승패가 나지 않을 확률이 1/2보다도 커진다. 만약 5명보다 많을 때 가위바위보를 해서 승패가 한 번에 났다면 운이 좋은 셈인 것이다.

 

 

 

 

 

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