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우리 생활 속 수학 원리를 알아 봅시다.

식빵 한 장을 무한히 먹을 수 있다?

식빵 하나를 조금씩 조각내어 무한히 계속 먹을 수 있는 방법이 있다고 한다. 인터넷에서는 이 식빵을 가리켜 ‘무한식빵’이라고 부른다. 그럼, 무한식빵을 관찰해보자.


무한식빵

① 가로 10cm, 세로 11cm 크기의 식빵이 있다.

 

② 이 식빵의 양끝 모퉁이를 밑변, 높이가 1cm인 직각삼각형이 되도록 잘라 먹는다.

 

③ 이후 파랑색 남은 식빵을 비스듬히 아래로 내려 빨강색 식빵 조각과 맞붙인다.

 

④ 맞붙인 식빵의 크기는 가로 11cm, 세로 10cm로 처음의 식빵 크기와 똑같다.

 

따라서 ①~④의 과정을 계속하여 반복하면, 식빵의 크기를 똑같이 유지하며 무한히 먹을 수 있다!!



한때 인터넷을 뜨겁게 달구었던 ‘무한식빵’의 아이디어(?)다. 이것이 사실이라면 정말 대단한 발견이며, 수학의 노벨상인 ‘필즈상’을 받아 마땅하다. 소재인 ‘식빵’을 ‘골드바’로 바꾸어 생각해보면 공감하겠는가?

 

분명히 어딘가에 잘못된 부분이 있을 것이다.

‘하나의 덩어리를 여러 조각을 내었을 때, 그 조각들의 합은 전체와 같아야 하기 때문이다.’

 

그렇다면 어디에 잘못된 부분이 있을까? 처음 도형의 모습을 다시 살펴보자.

아래의 그림에서 보는바와 같이 모순된 부분은 기울기에 있다. 파란색 화살표빨간색 화살표의 기울기가 다르다. 

무한식빵


기울기가 다르다는 것은 서로 정확하게 맞붙여지지 않음을 말한다.

아래의 그림은 양끝의 직각삼각형을 밖으로 떼어내고, 남은 두 부분을 비스듬히 내려놓았을 때의 모습이다.

남은 두 부분의 양끝은 기울기가 다른 이유로 맞붙여지지 않으며 공백이 발생한다.   


2


따라서 실제 이동후 남은 두 도형을 맞붙인 것의 넓이는 전체넓이=11×10-(흰색 공백의 넓이)가 된다.

이제 흰색 공백의 넓이를 계산해보자. 흰색 공백은 총 3가지 도형의 합으로 생각할 수 있다.


무한식빵 계산










무한식빵

무한식빵

1

2


결국 ‘무한식빵’은 절대 있을 수 없는 이야기이며, 그것이 그럴듯하게(?) 보인 것은 아주 작은 기울기의 차이로 발생한 미세한 틈을 우리 눈으로 쉽게 인지할 수 없었기 때문이다.



[더 알아보기] 

이 글에서 소개한 내용은 세계적으로 유명한 Matheatica 소프트웨어로 구현한 것이며, 이는 이 글을 써 주신 이장훈 선생님의 홈페이지 수학생각(http://www.mathought.com)의 수학실험실에서 Dynamic한 실험과 조작을 통하여 더욱 즐겁게 관찰할 수 있다. 단, 공개프로그램인 Wolfram CDF Player를 설치하고 데스크탑PC(혹은 노트북)의 Microsoft Internet Explore 환경에서 작동이 가능하다.

바로가기  ○ 수학실험실 No.130. 사라진 정사각형의 비밀(무한식빵)




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